Matematikastudycenter.com- Contoh soal dan pembahasan suku banyak dan teorema sisa matematika 11 SMA.
Perhatikan contoh-contoh soal suku banyak berikut ini:
Soal No. 1
Diberikan suku banyak
F(x) = 3x3 + 2x − 10.
Dengan cara substitusi, tentukan nilai dari F(2)
Pembahasan
Masukkan nilai x = 2 untuk F(x).
F(x) = 3x3 + 2x − 10
F(2) = 3(2)3 + 2(2) − 10
F(2) = 24 + 4 − 10 = 18
Soal No. 2
Diberikan suku banyak
F(x) = 3x3 + 2x − 10.
Dengan cara Horner, tentukan nilai dari F(2), cocokkan dengan jawaban nomor soal nomor 1 di atas!
Pembahasan
Cara Horner:
Bikin layoutnya dulu seperti di bawah ini, perhatikan asalnya angka 3, 0, 2 dan – 10 nya.
Ket:
Setelah 3 turun ke bawah, kemudian di kali 2, hasilnya 6. Jumlahkan dengan angka di atasnya, hasilnya kemudian kalikan 2 lagi dst. Hasil akhirnya F(2) = 18, cocok dengan jawaban hasil nomor 1.
Soal No. 3
Diketahui bahwa (x − 1) adalah faktor dari persamaan x3 − 2x2 − 5x + 6 = 0.
Tentukan faktor-faktor yang lain!
Pembahasan
x − 1 merupakan faktor dari x3 − 2x2 − 5x + 6 = 0, sehingga x = 1 adalah akar dari persamaan tersebut.
Untuk mencari faktor lain gunakan horner seperti berikut:
Pemfaktoran dengan horner untuk nilai x = 1
Diperoleh bahwa
koefisien x2 adalah 1
koefisien x adalah −1
dan 6
Sehingga faktor yang didapat adalah
1x2 − 1x − 6 = 0
x2 − x − 6 = 0
Faktorkan lagi, lebih mudah karena x dalam pangkat dua, diperoleh
x2 − x − 6 = 0
(x + 2)(x − 3) = 0
Jadi selain (x − 1) , faktor-faktor dari x3 − 2x2 − 5x + 6 = 0 adalah (x + 2) dan (x − 3)
Soal No. 4
Diketahui x = 1 adalah akar dari persamaan suku banyak 2x3 − 9x2 + 13x − 6 = 0. Tentukan akar-akar yang lain dari persamaan di atas!
Pembahasan
2x3 − 9x2 + 13x − 6 = 0
2x2 − 7x + 6 = (2x − 3)(x − 2)
2x − 3 = 0
x = 3/2
x − 2 = 0
x = 2
Jadi akar-akar yang lain adalah 3/2 dan 2
Soal No. 5
Diketahui;
2x3 − 9x2 + 13x − 6 = 0
Jika x1, x2 dan x3 adalah akar-akar dari persamaan di atas, tentukan:
a) hasil kali akar-akar
b) jumlah akar-akar
Pembahasan
Ax3 + Bx2 + Cx + D = 0
maka berlaku
a) x1 ⋅x2 ⋅ x3 = − D/A = − (−6)/2 = 6/2 = 3
b) x1 + x2 + x3 = − B/A
= − (−9)/2 = 9/2
Soal No. 6
Diketahui;
2x4 + 5x3 − 11x2 − 20x + 12 = 0
Jika x1, x2 , x3 dan x4 adalahakar-akar dari persamaan di atas, tentukan:
a) hasil kali akar-akar
b) jumlah akar-akar
Pembahasan
Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E = 0
maka berlaku
a) x1 ⋅x2 ⋅ x3 ⋅ x4 = E/A = (12)/2 = 6
b) x1 + x2 + x3 + x4 = − B/A
= −(5)/2 =− 5/2
Soal No. 7
Salah satu faktor suku banyak P(x) = x4 −15x2 −10x + n adalah (x + 2) . Faktor lainnya adalah…
A. x − 4
B. x + 4
C. x + 6
D. x − 6
E. x − 8
(UN 2008)
Pembahasan
Tentukan lebih dulu nilai n dari suku banyak di soal. Jika x + 2 adalah faktor, maka x = − 2 jika dimasukkan persamaan di atas akan menghasilkan P(x) = 0.
P(x) = x4 −15x2 −10x + n
0 = (−2)4 −15(−2)2 −10(−2) + n
n = 24
Sehingga P(x) secara lengkap adalah
P(x) = x4 −15x2 −10x + 24
Uji pilihan hingga mendapatkan nilai P(x) sama dengan nol seperti ini
A. x − 4 → x = 4 → P(x) = (4)4 −15(4)2 −10(4) + 24 = 0
B. x + 4 → x = − 4 → P(x) = (−4)4 −15(−4)2 −10(−4) + 24 = 80
C. x + 6 → x = − 6 → P(x) = (−6)4 −15(−6)2 −10(−6) + 24 = 840
dan seterusnya
Terlihat yang menghasilkan P(x) = 0 adalah untuk x = 4, sehingga faktor lainnya adalah (x − 4).
Dicoba:
Soal No. 8
Suku banyak P(x) = x3 + ax2 – 13x + 10 mempunyai faktor linear (x – 2). Faktor linear yang lain adalah…
A. (x – 5)
B. (x + 1)
C. (x + 2)
D. (x – 1)
E. (x – 4)
Soal No. 9
Jika f(x) dibagi dengan (x – 2) sisanya 24, sedangkan jika f(x) dibagi dengan (2x – 3) sisanya 20. Jika f(x) dibagi dengan (x – 2) (2x – 3), sisanya adalah….
A. 8x + 8
B. 8x − 8
C. −8x + 8
D. −8x − 8
E. −8x + 6
(UN 2007)
Pembahasan
Misal sisa pembagian dari f(x) dirumuskan S(x) = ax + b
Dibagi dengan (x – 2) sisanya 24 artinya:
x – 2 = 0
x = 2
S(x) = ax + b
24 = 2a + b ……….(Persamaan 1)
Dibagi dengan (2x – 3) sisanya 20 artinya:
2x – 3 = 0
x = 3/2
S(x) = ax + b
20 = 3/2 a + b ……….(Persamaan 2)
Gabungkan persamaan 1 dan 2
24 = 2a + b
20 = 3/2 a + b
______________ −
4 = 1/2 a
a = 8
24 = 2a + b
24 = 2(8) + b
24 = 16 + b
b = 8
S(x) = 8x + 8
Soal No. 10
Diketahui suku banyak P(x) = 2x4 + ax3 − 3x2 + 5x + b. . Jika P(x) dibagi (x − 1) sisa 11, dibagi (x + 1) sisa -1, maka nilai (2a+ b) =…
A. 13
B. 10
C. 8
D. 7
E. 6
(UN 2011)
Pembahasan
Untuk (x − 1)
x = 1 → P(x) = 11
2(1)4 + a(1)3 − 3(1)2 + 5(1) + b = 11
2 + a − 3 + 5 + b = 11
a + b = 7 ………….(Persamaan 1)
Untuk (x + 1)
x = − 1 → P(x) = − 1
2(−1)4 + a(−1)3 − 3(−1)2 + 5(1) + b = −1
2 − a − 3 − 5 + b = − 1
− a + b = 5 ……….(Persamaan 2)
Dari Persamaan 1 dan 2
a + b = 7
− a + b= 5
__________ +
2b = 12
b = 12/2 = 6
a + b = 7
a + 6 = 7
a = 1
Sehingga
2a + b = 2(1) + 6 = 8
Soal No. 11
Suku banyak berderajat 3, jika dibagi (x2 − x − 6) bersisa (5x − 2), jika dibagi (x2 − 2x − 3) bersisa (3x + 4). Suku banyak tersebut adalah….
A. x3 − 2x2 + x + 4
B. x3 − 2x2 − x + 4
C. x3 − 2x2 − x − 4
D. x3 − 2x2 + 4
E. x3 + 2x2 − 4
Pembahasan
Misalkan suku banyaknya:
Faktorkan dulu:
Masukkan nilai x yang telah diperoleh ke f(x):
Substitusikan f(-1) = 1 ini ke suku banyaknya dengan pembagi yang lain:
Dengan diketahui m = -1, maka suku banyak itu adalah
Soal No. 12
Suku banyak berderajat 3, jika dibagi (x2 + 2x − 3) bersisa (3x − 4), jika dibagi (x2 − x − 2) bersisa (2x + 3). Suku banyak tersebut adalah…..
A. x3 − x2 − 2x − 1
B. x3 + x2 − 2x − 1
C. x3 + x2 + 2x − 1
D. x3 + 2x2 − x − 1
E. x3 + 2x2 + x + 1
Pembahasan
Seperti nomor sebelumnya, yaitu mencari suku banyaknya, akan dibahas dengan cara agak berbeda. Logikanya awalnya masih sama, begini misalkan kita membagi angka 23 dengan 4, maka akan diperoleh hasilnya 5 dan sisanya 3. Bisa ditulis seperti ini:
23 = 4⋅ 5 + 3
Dimana
4 sebagai pembagi
5 sebagi hasil bagi
3 sebagai sisa
Terapkan pengertian sederhana ini di soal di atas, misalkan suku banyaknya adalah
P(x) = ax3 + bx2 + cx +d.
Dari pilihan jawaban yang ada, sudah bisa dipastikan kalau a = 1, sehingga permisalannya menjadi lebih mudah seperti ini saja:
P(x) = x3 + bx2 + cx + d
Data soalnya:
P(x) jika dibagi (x2 + 2x − 3) bersisa (3x − 4), artinya adalah
P(x) = (x2 + 2x − 3)⋅ H(x) + (3x − 4)
P(x) = (x + 3)(x − 1) ⋅H(x) + (3x − 4)
Terlihat jika x diisi dengan x = − 3 atau diisi dengan x = 1, maka tinggal P(x) = 3x − 4 saja, karena sebelah kirinya yang warna merah akan menghasikan nol.
P(−3) =3⋅ −3 −4 = −13
P(1)=3⋅1 − 4 = −1
Berikutnya P(x) jika dibagi jika dibagi (x2 − x − 2) sisanya 2x + 3 artinya
P(x) = (x2 − x − 2)⋅H(x) + (2x + 3)
P(x) = (x − 2)(x + 1)⋅H(x) + (2x + 3)
Jika x diisi dengan x = 2 atau diisi dengan x = − 1, maka tinggal P(x) = 2x + 3 saja, karena sebelah kirinya yang warna merah akan menghasikan nol.
P(2) = 2⋅2 + 3 = 7
P(−1) = 2⋅ − 1 + 3 = 1
Jadi P(−3) = − 13, P(1) = (−1), P(2) = 7 dan P(−1) = 1. Masukkan data ini ke P(x) = x3 + bx2 + cx + d, ambil data-data yang angka kecil saja:
Jika dari persamaan (i) dan (ii) dengan eliminasi ataupun substitusi belum dapat ditemukan nilai b, c dan d, maka silakan lanjut ke data P(−3) = 13 dan P(2) = 7. Di soal ini nampaknya cukup dari dua persamaan di atas, dibantu dengan melihat pilihan-pilihan jawabannya.
b + c + d = −2
b – c + d = 2
——————– −
2c = − 4
c = − 2, hanya pilihan A dan B yang memenuhi, dan dari kedua pilihan itu bisa dipastikan bahwa nilai d sama dengan − 1, sehingga tinggal mencari nilai b saja.
Dari persamaan (i) :
b + c + d = −2
b − 2 − 1 = −2
b = 1
Jadi selengkapnya b = 1, c = − 2 dan d= − 1 atau P(x) = x3 + x2 −2x − 1
Jawaban: B
Soal No. 13
Sisa pembagian suku banyak F(x) = 2x3 − 7x2 + 11x − 4 oleh (2x − 1) adalah….
A. −3
B. −2
C. −1
D. 0
E. 1
Pembahasan
F(x) = 2x3 − 7x2 + 11x − 4 dibagi (2x − 1) sisanya adalah f(1/2).
Sisa = 2(1/2)3 − 7(1/2)2 + 11(1/2) − 4
Soal No. 14
Akar-akar persamaan 2x3 − 3x2 − 11x + p = 0 adalah x1, x2 dan x3. Untuk x1 = −2, nilai x1 x2 x3 =…..
A. −6
B. −3
C. 0
D. 3
E. 6
Pembahasan
Menentukan nilai p terlebih dahulu, substitusikan x = − 2
2x3 − 3x2 − 11x + p = 0
2(− 2)3 − 3(− 2)2 − 11(− 2) + p = 0
−16 − 12 + 22 + p = 0
p = 28 − 22 = 6
Sehingga
2x3 − 3x2 − 11x + 6 = 0
Hasil kali ketiga akar untuk bentuk ax3 + bx2 + cx + d = 0 adalah:
x1 x2 x3 = − d/a
= − 6 / 2
= − 3