Matematikastudycenter.com- Contoh soal Pembahasan program linier materi matematika kelas 12 SMA.
Pelajari contoh-contoh berikut ini:
Soal No. 1
Luas daerah parkir 1.760 m2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m2 dan mobil besar 20 m2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp 1.000,00/jam dan mobil besar Rp 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah….
A. Rp 176.000,00
B. Rp 200.000,00
C. Rp 260.000,00
D. Rp 300.000,00
E. Rp 340.000,00
Pembahasan
Membuat model matematika dari soal cerita di atas
Misal:
mobil kecil sebagai x, mobil besar sebagai y.
Luas parkir 1760 m2:
4x + 20 y ≤ 1760 disederhanakan menjadi
x + 5y ≤ 440…….(Garis I)
Daya tampung lahan parkir 200 kendaraan:
x + y ≤ 200 …………..(Garis II)
Fungsi objektifnya adalah hasil parkiran:
f(x, y) = 1000 x + 2000 y
Membuat Sketsa Garis 1 dan garis 2
Ubah tanda lebih besar atau lebih kecil menjadi tanda sama dengan terlebih dahulu,
Garis 1
x + 5y = 440
Titik potong sumbu x, y = 0
x + 5(0) = 440
x = 440
Dapat titik (440, 0)
Titik potong sumbu y, x =0
0 + 5y = 440
y = 440/5 = 88
Dapat titik (0, 88)
Garis 2
x + y = 200
Titik potong sumbu x, y = 0
x + 0 = 200
x = 200
Dapat titik (200, 0)
Titik potong sumbu y, x =0
0 + y = 200
y = 200
Dapat titik (0, 200)
Menentukan titik potong garis 1 dan garis 2
Untuk menentukan titik potong bisa dengan substitusi ataupun eliminasi.
x + 5y = 440
x + y = 200
____________ _
4y = 240
y = 60
x + y =200
x + 60 = 200
x = 140
Titik potong kedua garis aalah (140, 60)
Berikut lukisan kedua garis dan titik potongnya, serta daerah yang diarsir adalah himpunan penyelesaian kedua pertidaksamaan di atas.
Uji titik untuk mendapatkan fungsi obektif maksimum:
Masukkan koordinat titik-titik uji / warna merah ke f(x, y) = 1000 x + 2000 y
Titik (0,0) → f(x, y) = 1000 (0) + 200 (0) = 0
Titik (200,0) → f(x, y) = 1000 (200) + 2000 (0) = 200 000
Titik (0, 88) → f(x, y) = 1000 (0) + 2000 (88) = 176 000
Titik (140,60) → f(x, y) = 1000 (140) + 2000 (60) = 260 000
Dari uji titik terlihat hasil parkiran maksimum adalah Rp 260 000
Soal No. 2
Daerah yang diarsir pada gambar ialah himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear.
Nilai maksimum dari f (x, y) = 7x + 6y adalah….
A . 88
B. 94
C. 102
D. 106
E. 196
Pembahasan
Cari persamaan kedua garis untuk dapat menentukan titik potongnya:
Cara pertama dalam membuat persamaan garis
y − y1 = m (x − x1)
dengan
m = Δy/Δx
Persamaan garis yang melalui titik (12, 0) dan (0, 20) adalah m = 20/−12 = − 5/3
y − 20 = − 5/3 (x − 0)
y − 20 = − 5/3 x
y + 5/3 x = 20
3y + 5x = 60
Persamaan garis yang melalui titik (18, 0) dan (0, 15) :
m = 15/−18 = − 5/6
y − 15 = − 5/6 (x − 0)
y + 5/6 x = 15
6y + 5x = 90
Cara kedua dalam membuat persamaan garis
bx + ay = ab
Untuk garis yang memotong sumbu x di 12 dan y di 20 adalah:
20x + 12 y = 240 sederhanakan lagi
5x + 3y = 60
Untuk garis yang memotong sumbu x di 18 dan y di 15 adalah:
15x + 18y = 270 sederhanakan lagi
5x + 6y = 90
Titik potong kedua garis:
6y + 5x = 90
3y + 5x = 60
_________ –
3y = 30
y = 10
3(10) + 5x = 60
5x = 30
x = 6
Titik potong kedua garis adalah (6, 10)
Uji titik: f (x, y) = 7x + 6y
Titik (0, 0) → f (x, y) = 7(0) + 6(0) = 0
Titik (12,0) → f (x, y) = 7(12) + 6(0) = 84
Titik (0, 15) → f (x, y) = 7(0) + 6(15) = 90
Titik (6, 10) → f (x, y) = 7(6) + 6(10) = 102
Nilai maksimum tercapai saat x = 6 dan y = 10 yaitu 102
Soal No. 3
Suatu perusahaan meubel memerlukan 18 unsur A dan 24 unsur B per hari. Untuk membuat barang jenis I dibutuhkan 1 unsur A dan 2 unsur B, sedangkan untuk membuat barang jenis II dibutuhkan 3 unsur A dan 2 unsur B. Jika barang jenis I dijual seharga Rp 250.000,00 per unit dan barang jenis II dijual seharga Rp 400.000,00 per unit, maka agar penjualannya mencapai maksimum, berapa banyak masing-masing barang harus dibuat?
A. 6 jenis I
B. 12 jenis II
C. 6 jenis I dan 6 jenis II
D. 3 jenis I dan 9 jenis II
E. 9 jenis I dan 3 jenis II
Pembahasan
Barang I akan dibuat sebanyak x unit
Barang II akan dibuat sebanyak y unit
Ilustrasi berikut untuk memudahkan pembuatan model matematikanya:
x + 3y ≤ 18
2x + 2y ≤ 24
Fungsi objektifnya:
f(x, y) = 250000 x + 400000 y
Titik potong
x + 3y = 18 |x2|
2x + 2y = 24 |x 1|
2x + 6y = 36
2x + 2y = 24
____________ _
4y = 12
y = 3
2x + 6(3) = 36
2x = 18
x = 9
Titik potong kedua garis (9, 3)
Berikut grafik selengkapnya:
Uji Titik ke f(x, y) = 250000 x + 400000 y
Titik (0,0) f(x, y) = 250000 (0) + 400000 (0) = 0
Titik (12, 0) f(x, y) = 250000 (12) + 400000 (0) = 3000 000
Titik (9, 3) f(x, y) = 250000 (9) + 400000 (3) = 3450 000
Titik (0, 6) f(x, y) = 250000 (0) + 400000 (6) = 2400 000
Dari uji titik terlihat hasil maksimum jika x = 9 dan y = 3 atau dibuat 9 barang jenis I dan 3 barang jenis II.
Soal No. 4
Seorang pedagang sepeda ingin membeli 25 sepeda untuk persediaan. Ia ingin membeli sepeda gunung dengan harga Rp1.500.000,00 per buah dan sepeda balap dengan harga Rp2.000.000,00 per buah. Ia merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp42.000.000,00. Jika keuntungan sebuah sepeda gunung Rp500.000,00 dan sebuah sepeda balap Rp600.000,00, maka keuntungan maksimum yang diterima pedagang adalah…
A. Rp13.400.000,00
B. Rp12.600.000,00
C. Rp12.500.000,00
D. Rp10.400.000,00
E. Rp8.400.000,00
Pembahasan
Banyak sepeda maksimal 25
Uang yang tersedia 42 juta
Titik potong (i) dan (ii)
Keuntungan
Jawaban: A
Soal No. 5
Seorang pedagang gorengan menjual pisang goreng dan bakwan. Harga pembelian untuk satu pisang goreng Rp1.000,00 dan satu bakwan Rp400,00. Modalnya hanya Rp250.000,00 dan muatan gerobak tidak melebihi 400 biji. Jika pisang goreng dijual Rp1.300,00/biji dan bakwan Rp600,00/biji, keuntungan maksimum yang diperoleh pedagang adalah…
A. Rp102.000,00
B. Rp96.000,00
C. Rp95.000,00
D. Rp92.000,00
E. Rp86.000,00
Pembahasan
Gorengan jadi x, bakwan jadi y
Modelnya:
1000x + 400y ≤ 250000, sederhanakan, bagi 100 dapat persamaan (i)
(i) 10x + 4y ≤ 2500
(ii) x + y ≤ 400
f(x,y) = 300x + 200y
Titik potong garis (i) dan (ii) dengan sumbu x dan y masing-masing:
Grafik selengkapnya:
Uji titik A, B, C
Soal No. 6
Nilai minimum dari f(x,y) = 4x + 5y yang memenuhi pertidaksamaan 2x + y ≥ 7, x + y ≥ 5, x ≥ 0, dan y ≥ 0 adalah…
A. 14
B. 20
C. 23
D. 25
E. 35
Pembahasan
Langsung cari titik potongnya dulu:
2x + y = 7
x + y = 5
———— −
x = 2
y = 3
Dapat titik A (2, 3)
Berikut grafik selengkapnya:
Uji titik
f(x, y) = 4x + 5y
A(2, 3) = 4(2) + 5(3) = 23
B(5, 0) = 4(5) + 5(0) = 20
C(0, 7) = 4(0) + 5(7) = 35
Terlihat nilai minimumnya adalah 20.