Matematikastudycenter.com- Soal dan pembahasan ujian nasional UN matematika SMA 2014 SMA program IPA nomor 6-10.
Soal No. 6
Akar-akar persamaan kuadrat x2 − (m − 1)x + 21 = 0 adalah α dan β dengan α , β positif. Jika α = β + 4, nilai m =….
A. − 17
B. − 9
C. 1
D. 3
E. 11
Pembahasan
Dari hasiljumlah akar-akar persamaan kuadrat:
Karena α = β + 4 maka
β + 4 + β = m − 1
2β + 4 = m − 1
m = 2β + 5
Dari hasilkali akar-akar persamaan kuadrat:
Karena α = β + 4 maka
(β + 4 )⋅ β = 21
β2 + 4β = 21
β2 + 4β − 21 = 0
Faktorkan:
(β + 7)(β − 3) = 0
β = −7 V β = 3
Dengan memilih β = 3 (positif), diperoleh nilai m,
m = 2β + 5
m = 2(3) + 5 = 11
Jawaban: E. 11
Soal No. 7
Persamaan (p + 2)x2 – 10x + 5 = 0 mempunyai akar-akar kembar. Nilai p yang memenuhi adalah….
A. 7
B. 5
C. 3
D. – 3
E. – 7
Pembahasan
Syarat akar kembar adalah diskriminannya D = 0
Jawaban: C. 3
Soal No. 8
Tiga tahun yang lalu umur Ahmad sama dengan 2 kali umur Hamid. Dua tahun yang akan datang, 4 kali umur Ahmad sama dengan umur Hamid ditambah 36 tahun. Umur Ahmad sekarang adalah….
A. 6 tahun
B. 9 tahun
C. 12 tahun
D. 15 tahun
E. 17 tahun
Pembahasan
Misalkan umur Ahmad dan umur Hamid sekarang adalah A dan H.
Dari soal:
Tiga tahun yang lalu umur Ahmad sama dengan 2 kali umur Hamid.
A − 3 = 2(H − 3)
A − 3 = 2H − 6
A = 2H − 3
Persamaan 1
Dua tahun yang akan datang, 4 kali umur Ahmad sama dengan umur Hamid ditambah 36 tahun.
4( A + 2) = (H + 2) + 36
4A + 8 = H + 38
4A = H + 30
Persamaan 2
Dari persamaan 2 dan 1, persamaan 2 dikalikan 2 dulu, taruh di baris atas:
8A = 2H + 60
A = 2H − 3
____________ −
7A = 63
A = 63/7 =9 tahun
Jawaban: B. 9 tahun
Soal No. 9
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 − 2x + 4y − 4 = 0 yang tegak lurus garis 3x − 4y − 5 = 0 adalah….
A. 4x + 3y − 5 = 0
B. 4x − 3y − 17 = 0
C. 4x + 3y − 17 = 0
D. 4x − 3y − 13 = 0
E. 4x + 3y − 13 = 0
Pembahasan
Tentang materi ini sebelumnya bisa diulang di persamaan garis singgung lingkaran.
Pusat lingkaran (P) dan jari-jari (r) dari lingkaran dengan persamaan x2 + y2 − 2x + 4y − 4 = 0 berturut-turut adalah
Garis 3x − 4y − 5 = 0 memiliki gradien 3/4, sehingga jika tegak lurus dengan ini gradiennya adalah − 4/3.
Persamaan garis singgungnya sesuai data di atas:
diperoleh dua buah garis singgung, pilih yang sesuai.
Jawaban: E. 4x + 3y − 13 = 0
Soal No. 10
Suku banyak berderajat 3, jika dibagi (x2 + 2x − 3) bersisa (3x − 4), jika dibagi (x2 − x − 2) bersisa (2x + 3). Suku banyak tersebut adalah…..
A. x3 − x2 − 2x − 1
B. x3 + x2 − 2x − 1
C. x3 + x2 + 2x − 1
D. x3 + 2x2 − x − 1
E. x3 + 2x2 + x + 1
Pembahasan
Akan dibahas panjang lebar, ceritanya begini dulu, misalkan kita membagi angka 23 dengan 4, maka akan diperoleh hasilnya 5 dan sisanya masih 3. Bisa ditulis seperti ini:
23 = 4⋅ 5 + 3
Dimana
4 disebut sebagai pembagi
5 disebut sebagai hasil bagi
3 disebut sebagai sisa
Terapkan pengertian sederhana ini di soal di atas, misalkan suku banyaknya, karena berderajat tiga, adalah
P(x) = ax3 + bx2 + cx + d
Dari pilihan jawaban yang ada, sudah bisa dipastikan kalau a = 1, sehingga permisalannya menjadi lebih mudah seperti ini saja:
P(x) = x3 + bx2 + cx + d
Data soalnya:
P(x) jika dibagi (x2 + 2x − 3) bersisa (3x − 4), artinya adalah
P(x) = (x2 + 2x − 3)⋅ H(x) + (3x − 4)
P(x) = (x + 3)(x − 1) ⋅H(x) + (3x − 4)
Terlihat jika x diisi dengan x = − 3 atau diisi dengan x = 1, maka tinggal P(x) = 3x − 4 saja, karena sebelah kirinya yang warna merah akan menghasikan nol.
P(−3) = 3⋅ −3 −4 = −13
P(1) = 3⋅1 − 4 = −1
Berikutnya P(x) jika dibagi jika dibagi (x2 − x − 2) sisanya 2x + 3 artinya
P(x) = (x2 − x − 2)⋅H(x) + (2x + 3)
P(x) = (x − 2)(x + 1)⋅H(x) + (2x + 3)
Jika x diisi dengan x = 2 atau diisi dengan x = − 1, maka tinggal P(x) = 2x + 3 saja, karena sebelah kirinya yang warna merah jg akan menghasikan nol.
P(2) = 2⋅2 + 3 = 7
P(−1) = 2⋅ − 1 + 3 = 1
Jadi P(−3) = − 13, P(1) = (−1), P(2) = 7 dan P(−1) = 1. Masukkan data ini ke P(x) = x3 + bx2 + cx + d, ambil data-data yang angka kecil saja:
Jika dari persamaan (i) dan (ii) dengan eliminasi ataupun substitusi belum cukup untuk menemukan nilai b, c dan d, maka silakan lanjut ke data P(−3) = 13 dan P(2) = 7. Di soal ini nampaknya cukup dari dua persamaan di atas, dibantu dengan melihat pilihan-pilihan jawabannya.
b + c + d = −2 (i)
b − c + d = 2 (ii)
——————– −
2c = − 4
c = − 2, hanya pilihan A dan B yang memenuhi, dan dari kedua pilihan itu bisa dipastikan bahwa nilai d sama dengan − 1, sehingga tinggal mencari nilai b saja.
Dari persamaan (i) :
b + c + d = −2
b − 2 − 1 = −2
b = 1
Jadi selengkapnya b = 1, c = − 2 dan d= − 1 atau P(x) = x3 + x2 −2x − 1
Jawaban: B
Metode lain yang bisa digunakan untuk soal seperti di atas, yaitu dengan menemukan hasil bagi atau H(x) dari salah satu pembagi terlebih dahulu, silakan diulang di salah satu soal dari materi suku banyak di soal nomor 11.