Matematikastudycenter.com- Soal dan pembahasan UN matematika SMA tahun 2013 (TP 2012/2013) SMA kelas 12 untuk program IPA nomor 1-5.
Soal No. 1
Fungsi kuadrat f(x) = ( k + 3)x2 – 2kx + (k – 2) merupakan fungsi definit positif. Nilai k yang memenuhi adalah….
A. k > – 3
B. k < 6
C. k < – 3
D. k > 6
E. – 3 < k < 6
Pembahasan
Fungsi kuadrat definit positif. Syaratnya agar definit positif adalah:
D < 0
a > 0
Dari D < 0 diperoleh:
b2 – 4 ac < 0
4k2 – 4(k + 3)( k – 2) < 0
4k2 – 4(k2 + k – 6) < 0
4k2 – 4k2 – 4k + 24 < 0
– 4k < – 24
4k > 24
k > 6
Dari a > 0 diperoleh
k + 3 > 0
k > – 3
Gabungan kedua syarat tersebut terlihat pada garis bilangan berikut:
Daerah yang memenuhi kedua syarat di atas adalah k > 6.
Soal No. 2
Persamaan kuadrat x2 + (2 + m)x + 9 = 0 tidak mempunyai akar real. Nilai m yang memenuhi adalah…
A. – 4 < m < 8
B. – 8 < m < 4
C. 4 < m < 8
D. m < – 8 atau m > 4
E. m < – 4 atau m > 8
Pembahasan
Agar persamaan kuadrat x2 + (2 + m)x + 9 = 0 tidak mempunyai akar real maka syaratnya adalah:
D < 0
b2 – 4ac < 0
(2 + m)2 – 4⋅1⋅9 < 0
m2 + 4m – 32 < 0
(m + 8)(m – 4) < 0
m = – 8 ∨ m = 4
Setelah menemukan dua angka, di atas, cek daerah mana yang cocok. Cek angka yang paling mudah, yaitu angka nol yang berada di antara angka −8 dan 4.:
m = 0 → m2 + 4m – 32 < 0
→ 02 + 4(0) – 32 < 0
→ – 32 < 0
Baris terakhir menyatakan − 32 itu lebih kecil dari 0. Pernyataan ini bernilai benar, jadi daerah tadi betul merupakan daerah penyelesaian.
Silakan cek daerah di sebelah kanan, angka 4 dan sebelah kiri angka − 8, nanti akan ketemu pernyataan yang bernilai salah. Jadi daerah yang diminta adalah:
– 8 < m < 4
Soal No. 3
Persamaan lingkaran yang berpusat di (– 3, 2) dan berdiameter √48 adalah….
A. x2 + y2 – 6x + 4y – 7 = 0
B. x2 + y2 – 6x + 4y – 6 = 0
C. x2 2 + y2 + 6x – 4y + 7 = 0
D. x2 + y2 + 6x – 4y + 1 = 0
E. x2 + y2 + 6x – 4y + 13 = 0
Pembahasan
Menyusun persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dengan jari-jari r.
Diameternya √48, jadi jari-jarinya r = 1/2 √48
Masukkan ke pola rumusnya hingga diperoleh
Soal No. 4
Agi membeli 3 roti dan 2 donat seharga Rp9.000,00, sedangkan Dikdik membeli 2 roti dan 1 donat seharga Rp5.500,00. Ilham membeli 2 roti dan 3 donat, maka jumlah yang harus dibayar Ilham adalah…
A. Rp7.000,00
B. Rp8.500,00
C. Rp9.000,00
D. Rp10.000,00
E. Rp10.500,00
Pembahasan
Roti jadi x, donat jadi y. Susun persamaannya kemudian eliminasikan atau substitusi.
3x + 2y = 9000
2x + y = 5500
Yang bawah kalikan dua, biar sama koefisien y nya.
3x + 2y = 9000
4x + 2y = 11000
———————– –
x = 2000
y = 1500
2x + 3y = ….?
2(2000) + 3(1500) = 8500
Soal No. 5
Akar-akar persamaan x2 + (a – 1)x + 2 = 0 adalah α dan β . Jika α = 2β dan a > 0 maka nilai a =…
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
E. 8
Pembahasan
Jumlah dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat
ax2 + bx + c = 0
Dari perkalian keduanya:
α⋅ β = c/a
α⋅β = 2
α tadi sama dengan 2β jadi
2β2 = 2
β2 = 1
β = √1
β = ± 1
Dari penjumlahan keduanya:
α + β = – b/a
α + β = 1 – a
α tadi sama dengan 2β jadi
2β + β = 1 – a
3β = 1 − a
a = 1 − 3β
Untuk nilai β = 1
a = 1 − 3β
a = 1 − 3(1) = − 2
Untuk nilai β = −1
a = 1 − 3β
a = 1 − 3(−1) = 4
Ambil nilai a yang lebih besar dari nol.