Matematikastudycenter.com- Contoh soal dan pembahasan vektor materi matematika SMA kelas 12.
Soal No. 1
Perhatikan gambar berikut, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q
a) Nyatakan PQ dalam bentuk vektor kolom
b) Nyatakan PQ dalam bentuk i, j (vektor satuan)
c) Tentukan modulus atau panjang vektor PQ
Pembahasan
Titik P berada pada koordinat (3, 1)
Titik Q berada pada koordinat (7,4)
a) PQ dalam bentuk vektor kolom
b) PQ dalam bentuk i, j (vektor satuan)
PQ = 4i + 3j
c) Modulus vektor PQ
Soal No. 2
Perhatikan gambar kubus dengan sisi sepanjang 10 satuan berikut:
Titik S tepat berada pada perpotongan kedua diagonal sisi alas kubus. Tentukan:
a) Koordinat titik S
b) Koordinat titik V
c) Vektor SV dalam bentuk kolom
d) SV dalam bentuk vektor satuan
e) Modulus atau panjang SV
Pembahasan
a) Koordinat titik S
x = 5
y = 0
z = 5
(5, 0, 5)
b) Koordinat titik V
x = 10
y = 10
z = 0
(10, 10, 0)
c) Vektor SV dalam bentuk kolom
d) SV dalam bentuk vektor satuan
SV = 5i + 10j − k
e) Modulus atau panjang SV
Soal No. 3
Diberikan dua buah vektor masing-masing a = 9 dan b = 4. Nilai cosinus sudut antara kedua vektor adalah 1/3 . Tentukan:
a) |a + b|
b) |a – b|
Pembahasan
a) |a + b|
Jumlah dua buah vektor
b) |a – b|
Selisih dua buah vektor
Soal No. 4
Dua buah vektor masing-masing:
p = 3i + 2j + k
q = 2i – 4 j + 5k
Tentukan nilai cosinus sudut antara kedua vektor tersebut!
Pembahasan
Jumlahkan dua buah vektor dalam i, j, k
Dengan rumus penjumlahan
Soal No. 5
Diketahui vektor a = 2i – 6j – 3k dan b = 4i + 2j – 4k . Panjang proyeksi vektor a pada b adalah…..
A. 4/3
B. 8/9
C. ¾
D. 3/8
E. 8/36
(Soal Ebtanas Tahun 2000)
Pembahasan
Panjang masing-masing vektor, jika nanti diperlukan datanya:
Proyeksi vektor a pada vektor b, namakan c:
Soal No. 6
Diketahui vektor a = 4i − 2j + 2k dan vektor b = 2 i − 6 j + 4k. Proyeksi orthogonal vektor a pada vektor b adalah….
A. i − j + k
B. i − 3j + 2k
C. i − 4j + 4k
D. 2i − j + k
E. 6i − 8j + 6k
(Dari Soal UN Matematika Tahun 2011 Paket 12)
Pembahasan
Proyeksi vektor a pada vektor b namakan c, hasil akhirnya dalam bentuk vektor (proyeksi vektor ortogonal).
Soal No. 7
Besar sudut antara vektor a = 2i − j + 3k dan b = i + 3j − 2k adalah….
A. 1/8 π
B. 1/4 π
C. 1/3 π
D. 1/2 π
E. 2/3 π
(Soal Ebtanas 1988)
Pembahasan
Sudut antara dua buah vektor:
Soal No. 8
Ditentukan A(4 , 7 , 0) , B(6 , 10 , –6) dan C(1 , 9 , 0). AB dan AC wakil-wakil dari vektor u dan v. Besar sudut antara u dan v adalah….
A. 0
B. 1/4 π
C. 1/2 π
D. 3/4 π
E. π
(Soal Ebtanas 1989 – Vektor)
Pembahasan
Tentukan vektor u dan v terlebih dulu:
u = AB = B − A = (6 , 10 , –6) − (4 , 7 , 0) = (2, 3, −6) → u = 2i + 3j − 6k
v = AC = C − A = (1 , 9 , 0) − (4 , 7 , 0) = (− 3, 2, 0) → v = − 3i + 2j
Sudut dengan nilai cosinus nol adalah 90° atau 1/2 π
Soal No. 9
| Diketahui |  |
Proyeksi skalar 2u + 3v pada v adalah…. |
A. 1/2
B. 1/2 √2
C. 1/14√14
D. 2√14
E. 7/2√14
Pembahasan
2u + 3v misalkan dinamakan r
Proyeksi vektor r pada v misal namanya s adalah
Soal No. 10
Diberikan tiga buah vektor masing-masing:
a = 6p i + 2p j − 8 k
b = −4 i + 8j + 10 k
c = − 2 i + 3 j − 5 k
Jika vektor a tegak lurus b, maka vektor a − c adalah…..
A. − 58 i − 20 j − 3k
B. − 58 i − 23 j − 3k
C. − 62 i − 17 j − 3k
D. − 62 i − 20 j − 3k
E. − 62 i − 23 j − 3k
Pembahasan
Tentukan nilai p terlebih dahulu, dua vektor yang tegak lurus maka perkalian titiknya sama dengan nol. a dan b tegak lurus maka berlaku:
a ⋅ b = 0
(6p i + 2p j − 8 k)⋅ (−4 i + 8j + 10 k) = 0
− 24p + 16p − 80 = 0
− 8p = 80
p = − 10
Dengan demikian vektor a adalah
a = 6p i + 2p j − 8 k
a = 6(− 10) i + 2(− 10) j − 8 k
a = −60 i − 20 j − 8 k
a − c = ( −60 i − 20 j − 8 k) − (− 2 i + 3 j − 5 k)
a − c = − 58 i − 23 j − 3k