Matematikastudycenter.com- Pembahasan Integral Volume Benda Putar pada Sumbu Y.
Berikut ini contoh soal integral volume benda putar pada sumbu y:
Soal
Volume benda putar jika daerah yang dibatasi kurva y = − x2 + 4 dan y = − 2x + 4 diputar 360° mengelilingi sumbu Y adalah…..
A. 8 π satuan volume
B. 13/2 π satuan volume
C. 4 π satuan volume
D. 8/3 π satuan volume
E. 5/4 π satuan volume
(Sumber Soal : UN Matematika SMA Tahun 2007)
Pembahasan
Langkah pertama yang biasa ditempuh adalah membuat sketsa grafik kurva-kurva yang terlibat agar nampak batas-batas yang akan diambil,
Kurva pertama bentuknya persamaan kuadrat,
y = −x2 + 4
Cari titik potong pada sumbu x, berarti y diberi harga nol, y = 0
y = −x2 + 4
0 = −x2 + 4
0 = 4 −x2
Faktorkan,
0 = (x + 2)(x − 2)
x = − 2 atau x = 2
Titik-titik yang diperoleh dari langkah ini adalah (2, 0) dan titik (−2, 0)
Titik potong pada sumbu y, berarti x diberi harga nol, x = 0
y = −x2 + 4
y = −02 + 4
y = 4
Titik yang diperoleh dari langkah ini adalah (0, 4)
Kurva Kedua berbentuk persamaan linier
y = − 2x + 4
Titik potong sumbu x, berarti y = 0
y = − 2x + 4
0 = − 2x + 4
2x = 4
x = 4/2 = 2
Diperoleh titik (2, 0)
Titik potong sumbu y, berarti x = 0
y = − 2x + 4
y = − 2(0) + 4
y = 4
Diperoleh titik (0, 4)
Grafik selengkapnya sebagai berikut
Menentukan Batas-batas
Jika diputar pada sumbu x, terlihat dari gambar batas-batasnya adalah 0 dan 2
Jika diputar pada sumbu y, terlihat batas-batasnya adalah 0 dan 4
Kali ini akan dihitung untuk putar sumbu y, sehingga batas yang diambil 0 dan 4
Dari rumus volume benda putar pada sumbu y untuk dua buah kurva:
V = π a∫b ( [f1(y)]2 − [f2(y)]2 ) dy
atau
V = π a∫b ( [x1]2 − [x2]2 ) dy
→ Ubah bentuk “y =… ” menjadi “x =…” atau “x2 =…” ,
y = −x2 + 4
x2 = 4 − y
y = − 2x + 4
2x = 4 − y
x = 2 − 1/2 y
x2 = 4 −2y + y2/4
sehingga
V = π a∫b ( [x1]2 − [x2]2 ) dy
V = π 0∫4 ( [4 − y] − [4 −2y + y2/4] ) dy
V = π 0∫4 ( 4 − y − 4 + 2y − y2/4 ) dy
V = π 0∫4 (y − y2/4 ) dy
V = π [ 1/2 y2 − y3/12]04
V = (1/2 . 16 − 64/12)π − (0) π = 8/3 π
Soal
Perhatikan gambar diarsir di samping!
Jika daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu Y, maka volume benda putar yang terjadi adalah….
A. 6 2/5 π satuan volume
B. 8 π satuan volume
C. 13 2/3 π satuan volume
D. 15 1/3 π satuan volume
E. 25 3/5 π satuan volume
Pembahasan
y = √x
y2 = x
y4 = x2
x2 = y4
Dari rumus volume benda putar pada sumbu y untuk satu buah kurva:
V = π o∫2 x2 dy
V = π o∫2 y4 dy
V = π [ 1/5 y5 ]02 = 1/5 π [ y5 ]02
V = 1/5 π [ (25) − (05) ] = 32/5 π = 6 2/5 π satuan volume
Soal
Volume benda putar yang terbentuk dari daerah yang di kuadran I yang dibatasi oleh kurva x = 2√2 y2, sumbu Y, dan lingkaran x2 + y2 = 9, diputar mengelilingi sumbu Y adalah….
A. 106/15 π satuan volume
B. 124/15 π satuan volume
C. 146/15 π satuan volume
D. 164/15 π satuan volume
E. 248/15 π satuan volume
Pembahasan
Volume benda putar pada sumbu Y.
Kurva I
x = 2√2 y2
x2 = 8y4
Kurva II
x2 + y2 = 9
x2 = 9 − y2
Tentukan titik potongnya dulu
8y4 = 9 − y2
8y4 + y2 − 9 = 0
Faktorkan
(8y2 + 9)(y2 – 1) = 0
Ambil y2 – 1 = 0
y2 = 1→ y = ± 1
Sketsa kasar grafiknya sebagai berikut:
Terlihat Volumenya
