Matematikastudycenter.com- Contoh soal dan pembahasan menyelesaikan persamaan trigonometri, menentukan himpunan penyelesaian materi matematika kelas 10, 11 SMA.
Tengok dulu 3 kelompok rumus penyelesaian persamaan trigonometri berikut.
Masing-masing untuk sinus, cosinus dan untuk tangen:
Rumus Penyelesaian Persamaan
Trigonometri
Untuk sinus
Untuk kosinus
Untuk tangen
k diisi nilai 0, 1, 2, 3 dan seterusnya.
Contoh:
Soal No. 1
Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari sin x = 1/2
Pembahasan
Dari:
sin x = 1/2
Untuk harga awal, sudut yang nilai sin nya 1/2 adalah 30°.
Sehingga
sin x = 1/2
sin x = sin 30°
Dengan pola rumus yang pertama di atas:
(i) x = 30 + k ⋅ 360
k = 0 → x = 30 + 0 = 30 °
k = 1 → x = 30 + 360 = 390 °
(ii) x = (180 − 30) + k⋅360
x = 120 + k⋅360
x = 150 + k⋅360
k = 0 → x = 150 + 0 = 150 °
k = 1 → x = 150 + 360 = 510 °
Dari penggabungan hasil (i) dan hasil (ii), dengan batas permintaan 0° ≤ x ≤ 360°, yang diambil sebagai himpunan penyelesaiannya adalah:
HP = {30°, 150°}
Soal No. 2
Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari cos x = 1/2
Pembahasan
1/2 adalah nilai cosinus dari 60°.
Sehingga
cos x = cos 60°
(i) x = 60° + k ⋅ 360°
k = 0 → x = 60 + 0 = 60 °
k = 1 → x = 60 + 360 = 420°
(ii) x = −60° + k⋅360
x = −60 + k⋅360
k = 0 → x = −60 + 0 = −60°
k = 1 → x = −60 + 360° = 300°
Himpunan penyelesaian yang diambil adalah:
HP = {60°, 300°}
Soal No. 3
Untuk 0° ≤ x ≤ 720° tentukan himpunan penyelesaian dari sin (x − 30) = 1/2 √3
Pembahasan
1/2 √3 miliknya sin 60°
Sehingga
sin (x − 30) = sin 60°
dan
Untuk 0° ≤ x ≤ 720°, HP = {90°, 150°, 450°, 510°}
Soal No. 4
Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari
cos (x − 30°) = 1/2 √2
Pembahasan
Harga awal untuk 1/2 √2 adalah 45°
HP = {75°, 345°}
Soal No. 5
Himpunan penyelesaian persamaan:
cos 2x + sin x = 0
untuk 0 < x ≤ 2π adalah…..
A. {π/2, 4π/3, 5π/3}
B. {π/2, 7π/6, 4π/3}
C. {π/2, 7π/6, 5π/3}
D. {π/2, 7π/6, 11π/6}
E. {π/2, 5π/3, 11π/6}
Pembahasan
Dari rumus sudut rangkap dari pelajaran sebelumnya:
| cos 2x = cos2 x − sin2x cos 2x = 2 cos2 x − 1 cos 2x = 1 − 2 sin2 x |
cos 2x + sin x = 0
1 − 2 sin2 x + sin x = 0
− 2 sin2 x + sin x + 1 = 0
2 sin2 x − sin x − 1 = 0
Faktorkan:
(2sin x + 1)(sin x − 1) = 0
2sin x + 1 = 0
2sin x = −1
sin x = −1/2
x = 210° dan x = 330°
atau
sin x − 1 = 0
sin x = 1
x = 90°
Sehingga:
HP = {90°, 210°, 330°} dalam satuan derajat.
HP = {π/2, 7π/6, 11π/6} dalam satuan radian.
Jawaban : D.
Soal No. 6
Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + 5 sin x + 2 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah…
A. {2π/3,4π/3}
B. {4π/3, 5π/3}
C. {5π/6, 7π/6}
D. {5π/6, 11π/6}
E. {7π/6, 11π/6}
Pembahasan
Persamaan trigonometri:
Misalkan sin x sebagai P dan juga cos 2x = 1 − 2sin2 x
Soal No. 7
Himpunan penyelesaian persamaan 2cos 2x − 3 cos x + 1 = 0 untuk 0 < x < 2π adalah…
A. {π/6, 5π/6}
B. {π/6, 11π/6}
C. {π/3, 2π/3}
D. {π/3, 5π/3}
E. {2π/3, 4π/3}
Pembahasan
2cos 2x − 3 cos x + 1 = 0
Faktorkan:
(2cos x − 1)(cos x − 1) = 0
(2cos x − 1) = 0
2cos x = 1
cos x = 1/2
x = 60° = π/3 dan x = 300° = 5π/3
atau
(cos x − 1) = 0 cos x = 1
x = 0° dan x = 360° = 2π (Tidak diambil, karena diminta 0 < x < 2π)
Jadi HP = {π/3, 5π/3}
Jawaban: D
Soal No. 8
Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 4x + 3 sin 2x = −1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah…
A. {150°,165°}
B. {120°,150°}
C. {105°,165°}
D. {30°,165°}
E. (15°,105°)
Pembahasan
Ubah ke bentuk sin semua, dengan rumus sudut rangkap, kemudian faktorkan:
cos 4x + 3 sin 2x = −1
Untuk faktor
Tidak Memenuhi, lanjut ke faktor
Diperoleh
Jadi HP = {105°,165°}
Soal No. 9
Himpunan penyelesaian dari 2 sin2 x − 3 sin x + 1 = 0 dengan 0° ≤ x ≤ 360° adalah….
A. {30°, 90°, 150°}
B. {30°, 120°, 240°}
C. {30°, 120°, 300°}
D. {30°, 150°, 270°}
E. {60°, 120°, 270°}
(UN Matematika SMA IPA 2014)
Pembahasan
Soal ini akan coba diselesaikan dengan cara coba-coba. Ambil salah satu sudut dari pilihan jawaban yang ada, untuk mengeliminir pilihan lainnya. Dari yang mudah yaitu 30° atau 90°. Nilai sin 30° adalah 1/2, jika sudut ini termasuk jawaban maka akan sama dengan nol seperti permintaan soal.
Persamaan di soal:
2 sin2 x − 3 sin x + 1 = ?
30° → 2 sin2 (30°) − 3 sin (30°) + 1 = ?
= 2 (1/2)2 − 3 (1/2) + 1
= 0 (Benar, jadi jawaban harus memuat angka 30°, pilihan E salah karena tidak memuat 30 derajad.)
Berikutnya coba 90°, tentunya sudah tahu sin 90° = 1
2 sin2 x − 3 sin x + 1 = ?
90° → 2 sin2 90° − 3 sin 90° + 1 = ?
= 2 (1)2 − 3 (1) + 1
= 2 − 3 + 1
= 0 (Benar, Jawaban harus memuat 90° jadi B, C, D, dan E salah, A dipastikan benar tanpa dilakukan pengecekan pada 150°, tentunya kalau soalnya ndak error)
Soal No. 10
Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x − 2 sin x = 1; 0 ≤ x < 2π adalah….
A. {0, π, 3π/2, 2π}
B. {0, π, 4π/3, 2π}
C. {0, 2π/3; π, 2π}
D. {0, π, 2π}
E. {0, π, 3π/2}
Pembahasan
Soal ini lebih mudah lagi, syaratnya adalah 0 ≤ x < 2π , maka x tidak boleh memuat 2π, karena tandanya adalah lebih kecil dari 2π bukan lebih kecil atau sama dengan. Jadi pilihan yang ada 2π nya salah, hanya E yang tidak memuat 2π. Jadi jawabnya yang E, soal di atas dari soal UN, namun soal seperti ini jarang-jarang ada.